Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Materi Himpunan Kelas 7 SMP Lengkap

Diagram Venn

Teori tentang himpunan merupakan teori penting dalam matematika. Teori ini dikemukakan oleh seorang ahli matematika Jerman bernama Georg Cantor (1845–1918 M).

Bagaimanakah konsep mengenai himpunan? Dalam artikel ini, admin akan membahasnya secara rinci sesuai dengan materi matematika kelas 7 SMP/MTs.


Daftar isi

A. Konsep Himpunan
  1. Pengertian Himpunan
  2. Notasi Himpunan
  3. Penyajian Himpunan (dengan kata-kata, enumerasi, notasi pembentuk himpunan, dan diagram venn)
  4. Anggota / Elemen Himpunan
B. Jenis Himpunan
  1. Himpunan Semesta
  2. Himpunan Kosong
  3. Himpunan Berhingga
  4. Himpunan Tak Berhingga
C. Himpunan Bagian
  1. Pengertian Himpunan Bagian
  2. Himpunan Kuasa
D. Operasi Himpunan
  1. Irisan Himpunan
  2. Gabungan Himpunan
  3. Selisih Himpunan
  4. Komplemen Himpunan
E. Sifat Operasi Himpunan
  1. Sifat Idempoten
  2. Sifat Identitas
  3. Sifat Komutatif
  4. Sifat Asosiatif
  5. Sifat Distributif


A. KONSEP HIMPUNAN

1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek yang dapat dibedakan. Objek bisa berupa benda, hewan, barang, angka, huruf, dan lain-lain.

Tidak semua kumpulan adalah himpunan. Yang merupakan himpunan adalah kumpulan yang anggotanya berupa objek yang dapat dibedakan atau dapat didefinisikan dengan jelas.

Contoh Bukan Himpunan:
  • Kumpulan orang yang berbadan tinggi.
  • Kumpulan kota-kota menarik di Indonesia.
  • Kumpulan siswa SMP yang pandai.

Perhatikan contoh di atas. Kata-kata seperti tinggi, menarik, dan pandai tidak jelas kriterianya dan menimbulkan penafsiran yang bermacam-macam sehingga kumpulan di atas tidak termasuk himpunan.

Contoh Himpunan:
  • Kumpulan orang bertinggi badan minimal 170 cm
  • Kumpulan kota di Indonesia yang namanya berawalan huruf S.
  • Kumpulan siswa SMP dengan IQ minimal 140.

Perhatikan contoh di atas. Kumpulan di atas memiliki anggota yang dapat diidentifikasi dengan jelas sehingga kumpulan tersebut termasuk himpunan.


2. Notasi Himpunan

Himpunan disimbolkan atau dinotasikan dengan huruf kapital mulai dari A sampai dengan Z.

Contoh:
A adalah himpunan hewan berkaki dua.
B = {meja, kursi, pintu}
C = {5, 6, 7}

3. Penyajian Himpunan

a. Dengan kata-kata / deskripsi

Yaitu melakukan deskripsi atas himpunan dengan menyebutkan syarat atau sifat anggotanya. 

Contoh:
  • A adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 10.
  • B adalah himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin.
Contoh di atas dapat pula ditulis seperti berikut ini:
  • A = {semua bilangan asli kurang dari 10}
  • B = {semua huruf vokal dalam abjad Latin}

b. Dengan enumerasi (mendaftar anggota himpunan)

Yaitu dengan menuliskan seluruh anggota himpunan, dengan ketentuan:

  • Anggota dinyatakan dalam kurung kurawal.
  • Antar anggota dipisahkan dengan tanda koma
  • Untuk anggota yang banyak, dapat menggunakan tanda titik tiga (…) yang artinya adalah "dan seterusnya sesuai dengan pola".
  • Anggota yang sama hanya dituliskan satu kali.
Contoh:
  • A = {1, 2, 3, …, 9}
  • B = {a, i, u, e, o}

c. Dengan Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi pembentuk himpunan merupakan cara yang efektif dalam matematika untuk menyajikan himpunan dengan jelas.

Dalam cara ini, sering digunakan symbol huruf x, y, dan z sebagai objek yang menjadi anggota himpunan.

Cara penulisan adalah sebagai berikut (misalnya untuk himpunan A):

A = {x | syarat anggota A}.

Contoh:
  • A = {x | x < 10, x ∈ bilangan asli}. Dibaca A adalah himpunan x sedemikian hingga x kurang dari 10 dan x adalah anggota bilangan asli.
  • B = {x | x adalah huruf vokal dalam abjad latin}. Dibaca B adalah himpunan x sedemikian hingga x adalah huruf vokal dalam abjad latin.

d. Dengan Diagram Venn

Diagram Venn adalah cara menyatakan himpunan dalam bentuk gambar atau diagram.

Diagram Venn berbentuk persegi panjang dengan simbol S yang menunjukkan Himpunan Semesta, dan di dalamnya terdapat kurva tertutup sederhana biasanya berupa lingkaran yang menunjukkan himpunan yang berada di dalam Himpunan Semesta.

Contoh:

Contoh Diagram Venn

4. Anggota / Elemen Himpunan

a. Anggota himpunan dan bukan anggota himpunan

Objek (benda, angka, huruf, dan lain-lain) yang menjadi anggota dari himpunan disebut dengan anggota himpunan atau elemen himpunan yang dinotasikan dengan ∈.

Objek yang tidak termasuk sebagai anggota himpunan disebut sebagai bukan anggota himpunan yang dinotasikan dengan ∉.

Misalnya:

Himpunan A adalah himpunan hewan yang berkaki empat.

Jika ditanyakan apakah singa dan bebek adalah anggota Himpunan A, dapat dijelaskan sebagai berikut:

  • Singa memiliki kaki sebanyak 4, dengan demikian singa adalah anggota himpunan A. Maka singa ∈ A.
  • Bebek memiliki kaki sebanyak 2, dengan demikian bebek bukan anggota himpunan A. Maka bebek ∉ A.

b. Banyak Anggota Himpunan

Banyaknya anggota himpunan dilambangkan dengan n(nama himpunan).

Contoh:
A = {1, 2, 3}. Karena jumlah anggotanya ada 3 maka ditulis n(A) = 3


B. Jenis Himpunan

1. Himpunan Semesta (Universal Set)

Himpunan Semesta atau Semesta Pembicaraan, dinotasikan dengan huruf S atau U. Himpunan semesta merupakan himpunan yang memuat seluruh objek atau anggota yang dibicarakan.

Contoh:

Dalam pembicaraan diketahui bahwa
A = {kucing, kambing, singa}
B = {lele, udang, kepiting}
C= {belalang, kupu-kupu, lalat}
Maka yang mungkin menjadi himpunan semesta adalah:
S = {binatang}

2. Himpunan Kosong (Empty Set)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinotasikan dengan Ø atau { }. Himpunan kosong tidak sama dengan himpunan yang memiliki anggota angka 0.

Contoh:
A adalah himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
B adalah himpunan bilangan bulat antara -1 dan 1.
Maka A = { } dan B={0}.
A adalah himpunan kosong karena tidak memiliki anggota atau tidak ada anggota yang memenuhi sifat dari himpunan tersebut dan n(A) = 0.
B bukanlah himpunan kosong karena terdapat angka 0 yang menjadi anggota yang memenuhi sifat dari himpunan B dan n(B) = 1.
 

3. Himpunan berhingga (Finite Set)

Himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya berhingga.

Contoh:
J = himpunan bilangan ganjil antara 2 dan 10, maka J= {3, 5,7,9} sehingga n(J) = 4.


4. Himpunan tak berhingga (Infinite Set)

Himpunan tak berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak berhingga.

Contoh:

A = himpunan semua bilangan asli, maka A = {1,2,3,…} sehingga n(A) = tidak berhingga.

C. Himpunan Bagian

1. Pengertian Himpunan Bagian

A merupakan himpunan bagian dari B, jika seluruh anggota A merupakan anggota B, dinotasikan dengan A ⊂ B.

Contoh:
B = {1,3,5}
A = {1,3}
1 ∈ B dan 3 ∈ B sehingga seluruh anggota A merupakan anggota B, maka A ⊂ B

Jika terdapat anggota A yang tidak menjadi anggota B, maka A bukan merupakan himpunan bagian dari B, dinotasikan dengan A ⊄ B

Contoh:
B = {1,3,5}
A = {1,4}
1 ∈ B dan 4 ∉ B sehingga terdapat anggota A yang tidak menjadi anggota B, maka A ⊄ B


2. Himpunan Kuasa (Power Set)

Himpunan kuasa dari A adalah seluruh himpunan bagian A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri. Himpunan kuasa dinotasikan dengan P(A).

Jika banyak anggota himpunan kuasa dari A adalah n(P(A)) dan banyak anggota himpunan A adalah n, maka n(P(A))=2n

Contoh Pertanyaan:

Jika A = {1,2,3} berapa banyak anggota himpunan kuasa dari A atau berapa banyak himpunan bagian A?

Jawab:

Cara 1: dengan mendaftar anggota himpunan kuasa
Yang menjadi himpunan bagian A adalah sebagai berikut:
  • { }
  • {1}
  • {2}
  • {3}
  • {1,2}
  • {1,3}
  • {2,3}
  • {1,2,3}
Dengan demikian anggota himpunan kuasa dari A atau P(A) = { }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} → jumlahnya ada 8 sehingga n(P(A)) = 8.

Cara 2: dengan rumus
n = 3 (yaitu 1, 2, dan 3) maka n(P(A))=2n = 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Jadi banyaknya anggota himpunan kuasa dari A atau banyaknya himpunan bagian A adalah 8.


D. Operasi Himpunan

1. Irisan Himpunan (Intersection)

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari seluruh anggota A yang juga menjadi anggota B. Irisan himpunan A dan B dilambangkan dengan A ∩ B, yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan dari x, sedemikian hingga x adalah anggota A dan x adalah anggota B. Untuk lebih jelasnya, silakan lihat pada contoh di bawah ini.

Diketahui

S= {1, 2, 3, 4, 5}
A= {1, 4}
B= {1, 3, 5}

Ditanya: A ∩ B ?

Jawab:

Anggota A yang juga menjadi anggota B adalah 1, maka A ∩ B = {1}

Diagram Venn dari soal tersebut adalah:

Irisan Himpunan (Intersection)

A ∩ B pada gambar tersebut adalah yang diberi warna merah.


2. Gabungan Himpunan (Union)

Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota A dan B. Gabungan himpunan A dan B dilambangkan dengan A ∪ B, yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan dari x, sedemikian hingga x adalah anggota A atau x adalah anggota B. Untuk lebih jelasnya, silakan lihat pada contoh di bawah ini.

Diketahui

S= {1, 2, 3, 4, 5}
A= {1, 4}
B= {1, 3, 5}

Ditanya: A ∪ B ?

Jawab:

Gabungan anggota A dan B beranggotakan 1, 4, 1, 3, 5 maka A ∪ B = {1,3,4,5}.

Perhatikan bahwa angka 1 yang muncul dua kali hanya perlu ditulis satu kali (penjelasannya lihat pada bagian konsep himpunan di atas).

Diagram Venn dari soal tersebut adalah:

Gabungan Himpunan (Union)
A ∪ B pada gambar tersebut adalah yang diberi warna merah.

3. Selisih Dua Himpunan (Difference)

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan dari semua anggota A yang tidak menjadi anggota B. Selisih himpunan A dan B dilambangkan dengan A – B, yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

A – B = {x | x ∈ A dan x ∉ B}

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan dari x, sedemikian hingga x adalah anggota A dan x bukan anggota B. Untuk lebih jelasnya, silakan lihat pada contoh di bawah ini.

Diketahui

S= {1, 2, 3, 4, 5}
A= {1, 4}
B= {1, 3, 5}

Ditanya: A – B ?

Jawab:

Anggota A yang bukan anggota B adalah 4, maka A – B = {4}

Diagram Venn dari soal tersebut adalah:


Selisih Himpunan (Difference)

A – B pada gambar tersebut adalah yang diberi warna merah.

4. Komplemen Himpunan

Komplemen dari himpunan A (selanjutnya disebut Komplemen A) adalah anggota himpunan semesta yang bukan anggota himpunan A. Komplemen A disimbolkan dengan A' atau Ac, yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

Ac = {x | x ∈ S dan x ∉ A}

Komplemen A adalah himpunan dari x, sedemikian hingga x adalah anggota S dan x bukan anggota A. Untuk lebih jelasnya, silakan lihat pada contoh di bawah ini.

Diketahui

S= {1, 2, 3, 4, 5}
A= {1, 4}
B= {1, 3, 5}

Ditanya: Ac ?

Jawab:

Anggota himpunan semesta yang bukan anggota A adalah 2, 3, 5 maka A= {2, 3, 5}

Diagram Venn dari soal tersebut adalah:

Komplemen Himpunan

Ac pada gambar tersebut adalah yang diberi warna merah.

E. Sifat Operasi Himpunan

1. Sifat Idempoten

  • A ∪ A = A
  • A ∩ A = A

Contoh:

Jika A={1, 2, 3} 
maka
  • A ∪ A = {1, 2, 3} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3}
  • A ∩ A = {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 3} = {1, 2, 3}

2. Sifat Identitas

  • A ∪ { } = A
  • A ∩ { } = { }

Contoh:
Diketahui:
A adalah les diikuti Ali yaitu musik, matematika, dan renang. A = {musik, matematika, renang}.
B adalah les diikuti Budi dan Budi tidak mengikuti les apapun. B = { }

Ditanya:
a. Les yang diikuti oleh Ali atau oleh Budi?
b. Les yang sama-sama diikuti oleh Ali dan Budi?

Jawab:

a. Les yang diikuti oleh Ali atau Budi (salah satunya atau kedua-duanya mengikuti les tersebut) berarti les yang diikuti oleh Ali digabung dengan les yang diikuti oleh Budi.

A ∪ B = {musik, matematika, renang} ∪ { } = {musik, matematika, renang}

b. Les yang diikuti sama-sama oleh Ali dan Budi menggunakan operasi irisan himpunan.

A ∩ B = {musik, matematika, renang} ∩ { } = { }

Jadi tidak ada les yang sama-sama diikuti oleh Ali dan Budi.

3. Sifat Komutatif

  • A ∪ B = B ∪ A
  • A ∩ B = B ∩ A

Contoh:

A = {1, 2, 3} 
B = {3, 4, 5}

a. Membuktikan A ∪ B = B ∪ A

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
B ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5}

b. Membuktikan A ∩ B = B ∩ A

A ∩ B = {3}
B ∩ A = {3}

4. Sifat Asosiatif

  • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
  • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Contoh:

A = {1, 2, 3, 4} 
B = {3, 4, 5, 6}
C = {2, 3, 7, 8}

a. Membuktikan (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

B ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Dengan demikian (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

b. Membuktikan (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

A ∩ B = {3, 4}
(A ∩ B) ∩ C = {3}

B ∩ C = {3}
A ∩ (B ∩ C) = {3}

Dengan demikian (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = {3}

5. Sifat Distributif

  • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
  • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Contoh:

A = {1, 2, 3, 4, 5} 
B = {3, 4, 5, 6, 7}
C = {2, 3, 4, 8, 9}

a. Membuktikan A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

B ∩ C = {3, 4}
A ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4, 5}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9}
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5}

Dengan demikian A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5}

b. Membuktikan A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

B ∪ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A ∩ (B ∪ C) = {2, 3, 4, 5}

A ∩ B =  {3, 4, 5}
A ∩ C =  {2, 3, 4}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2, 3, 4, 5}

Dengan demikian A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2, 3, 4, 5}

* * * *

Demikian pembahasan materi himpunan kelas 7 SMP. Semoga bermanfaat.

Posting Komentar untuk "Materi Himpunan Kelas 7 SMP Lengkap"